BDA3の1.12 Exercisesの2を解く。本文はBayesian Data Analysis。解答参考はSolutions to some exercises from Bayesian Data Analysis。

Conditional means and variances

平均

uがベクトルの時、本文(1.8)のベクトル版

E(\vec{u})=E(E(\vec{u}|v))

を示す。uがベクトルということはE(u)もベクトルである。 $\vec{u}=(u_1,u_2,...,u_n)$ であれば $E(\vec{u})=(E(u_1),E(u_2),...,E(u_n))$ となる。証明したいことは全てのベクトル要素に関して $E(u_i)=E(E(u_i|v))$ となることである。

E(\vec{u})=\int \vec{\int} \vec{u} \cdot p(\vec{u},v)d\vec{u}dv \\ =\int \vec{\int} \vec{u} \cdot p(\vec{u}|v)d\vec{u}p(v)dv \\ =\int E(\vec{u}|y)p(v)dv \\ =E(E(\vec{u}|v))

p(u,v)もベクトルとなる。 $p(\vec{u},v)=(p(u_1,v),p(u_2,v),...,p(u_n,v))$ 。

分散

本文(1.9)のベクトル版も示せる。

\mathrm{var}(\vec{u})=E(\mathrm{var}(\vec{u}|v))+\mathrm{var}(E(\vec{u}|v))