BDA3の1.12 Exercisesの3を解く。本文はBayesian Data Analysis。解答参考はSolutions to some exercises from Bayesian Data Analysis。

Probability calculation for genetics

目の色を決定する遺伝子Xxがある。xxであれば、青い目となり、それ以外の組み合わせでは茶色の目となる。 xX、Xxをヘテロ接合という。xを持つ確率はpである。よってxxを持つ可能性は $p^2$ 、ヘテロ接合している確率は $2p(1-p)$ 、XXである確率は $(1-p)^2$ である。

ヘテロ接合である確率

両親が茶色の目を持ち、自身も茶色の目を持つ子供がヘテロ結合である確率はどうなるか？出したい確率はp(子供がヘテロ接合|両親が茶色の目, 子供が茶色の目)である。 A=子供がヘテロ接合, B=両親が茶色の目, C=子供が茶色の目とすると、ベイズの定理より

p(A|B, C) =\frac{p(B, C|A)p(A)}{p(B, C)}

p(B, C|A)は子供がヘテロ接合の時、子供と両親の目が茶色である確率である。両親の遺伝子としては(XX, XX)、(XX, ヘテロ接合)、(ヘテロ接合, ヘテロ接合)の３パターンがある。 (XX, XX)の確率は $(1-p)^4$ 、(XX, ヘテロ接合)の確率は $2(1-p)^2 2p(1-p)$ 、(ヘテロ接合, ヘテロ接合)の確率は $(2p(1-p))^2$ である。それぞれのp(A)は $0, \frac{1}{2}, (\frac{1}{2})^2\cdot 2$ である。よって

p(B, C|A)p(A)=(1-p)^4 0+2(1-p)^2 2p(1-p)\frac{1}{2}+(2p(1-p))^2(\frac{1}{2})^2\cdot 2 \\ =2p(1-p)^3+2p^2(1-p)^2

p(B,C)は子供がヘテロ接合であるという条件がないので、XXの場合も考える。

p(B,C)=(1-p)^4+2(1-p)^2 2p(1-p)+(2p(1-p))^2\frac{3}{4} \\ =(1-p)^4+4p(1-p)^3+3p^2(1-p)^2

(1),(2),(3)式から

p(A|B, C)=\frac{2p(1-p)^3+2p^2(1-p)^2}{(1-p)^4+4p(1-p)^3+3p^2(1-p)^2} \\ =\frac{2p}{1+2p}

となる。