Probability assignment

ある選挙に対し、2人の候補がいる。投票数が同数になる可能性はどの程度あるか？

(a) 雑な推定

yをA候補が獲得する投票数、nを総投票数とする。 2人の候補に関する事前情報は何もないので、Aが獲得する票は0.1から0.9の割合の中に入るとする。もし、nが奇数であれば同数になることはない。

Pr(y=\frac{n}{2}|n)=0

nが偶数であれば、

Pr(y=\frac{n}{2}|n)=\frac{1}{(0.9-0.1)}\frac{1}{n}

である。 nが偶数になる確率は1/2とすると、 $Pr(y=\frac{n}{2}|n)=\frac{1}{1.6n}=\frac{5}{8n}$ である。総投票数を20万(n=200000)とすると

5//8//200000

1//320000

アメリカの選挙区は435である。全ての区の総投票数を20万とする。全ての区で同数にならない確率は

(1-\frac{1}{320000})^{435}

である。少なくとも1つの区で同数になる確率は

1-(1-\frac{1}{320000})^{435}

1-(1-1/320000)^435

0.0013584535894667349

0.136%である。

1900年から1992年の間に20,597の選挙が行われ、49の選挙が100票差だった。この観測値を利用して同票になる確率を推定する。 A候補がy票であればB候補にはn-y票入っている。その差y-(n-y)が100以下である確率は49/20597である。

Pr(-100≤2y-n≤100)=\frac{49}{20597}

-100から100の間のどの値となるかは等確率であるとする。よって、2y-n=0→y=n/2(同票)になる確率は1/201である。２つの確率を考慮して、

Pr(y=n/2)=\frac{1}{201}\frac{49}{20597}

1//201*49//20597

49//4139997

である。少なくとも1つの区で同数になる確率は

1-(1-1/201*49/20597)^435

0.005135353678035415

0.514%である。