BDA3の2.11 Exercisesの15を解く。リンクはBayesian Data Analysis。

Beta distribution

Z ~ Beta(α, β)とする。確率密度関数は

p(u)=\frac{u^{α-1}(1-u)^{β-1}}{B(α,β)}

である。ここでベータ関数B(α,β)は

B(α,β)=\frac{Γ(α)Γ(β)}{Γ(α+β)}

と定義されている。

$E[Z^m(1-Z)^n]$ を計算する

E[Z^m(1-Z)^n]=\int^1_0u^m(1-u)^n\frac{u^{α-1}(1-u)^{β-1}}{B(α,β)}du \\ =\frac{Γ(α+β)}{Γ(α)Γ(β)}\int^1_0u^{m+α-1}(1-u)^{n+β-1}du \\ =\frac{Γ(α+β)}{Γ(α)Γ(β)}\frac{Γ(α+m)Γ(β+n)}{Γ(α+β+m+n)}

となる。最後は問題文の式を使った。

m=1,n=0とする。

E[Z]=\frac{Γ(α+β)}{Γ(α)Γ(β)}\frac{Γ(α+1)Γ(β)}{Γ(α+β+1)} \\ =\frac{Γ(α+β)}{Γ(α)Γ(β)}\frac{αΓ(α)Γ(β)}{(α+β)Γ(α+β)} \\ =\frac{α}{α+β}

Γ(x+1)=xΓ(x)を利用している。

Var[Z]=E[Z^2]-(E[Z])^2

の関係式を使う。 m=2,n=0とする。

E[Z]=\frac{Γ(α+β)}{Γ(α)Γ(β)}\frac{Γ(α+2)Γ(β)}{Γ(α+β+2)} \\ =\frac{Γ(α+β)}{Γ(α)Γ(β)}\frac{α(α+1)Γ(α)Γ(β)}{(α+β+1)(α+β)Γ(α+β)} \\ =\frac{α(α+1)}{(α+β+1)(α+β)}

(4)と(6)を(5)に代入する。

Var[Z]=\frac{α(α+1)}{(α+β+1)(α+β)}-\frac{α^2}{(α+β)^2} \\ =\frac{αβ}{(α+β+1)(α+β)^2}